Anh?
Que?

O caderno de matemática…

数学 : Matemática.
ノート : Caderno.

Mesmo sem o caderno eu consigo estudar, mas…

ノート : Caderno.
なんか : Algo do tipo, algo como.
なくて : Sem
ても : Embora.
勉強 : Estudo; estudar
できる : Ser capaz; Possivel.
けど : Mas
は : Tópico, assunto ( tipo um: falando de, falando sobre… )

Eu não queria deixar aquilo na escola.

あれ : Aquilo; aquela coisa.
学校 : Escola
置く : Largar, abondonar ( em um lugar) ; deixar ( por exemplo um objeto ); colocar.
置いて : Deixar ( na forma te )
~ておきます : Manter as coisas mesmo estado; manter as coisas na forma
que estão.
~ ておきたくない : Não quer deixar no mesmo estado.

O que que você tá fazendo?

何 : O que?
する : Fazer.
して : na forma ( te )
んだ ou: (んです/のだ/のです) = Ele passa um sentido explicativo
para a sentença, demonstra que aquilo é uma explicação ou uma justificativa.
e o んだ também aparece em perguntas. e nessas situações quem indaga usando isso, espera
uma certa explicação.

Devia tá estudando para manter o título de número 1 do colégio.

Pretende manter o titulo de número 1 mesmo sem estudar?!

学年がくねん1位い　: Nota A da escola, Primeiro da escola; número 1;
nota máxima ( em testes )
位い : Rank, posição ( ex: 1 lugar )
守まもる : Proteger.
ため : Em prol; para.
勉強べんきょうする : Estudar.
勉強しなくて : Não estudar.
勉強しなくていい : Não precisa estudar; Mesmo sem estudar tá ( ok / não tem problema )
かよ : É uma maneira meio grosseira de demonstrar surpresa, de ficar
surpreso com algo.

Meu caderno!
Será que ele descobriu que eu gosto da Azuki ?

僕ぼくの : Meu
~こと好すき : Gostar ( de; do; a respeito de…. )
の : É uma forma de indagação.
な : Mas por que o な ? ele surge antes do の em perguntas que
o que vem antes do な é um: Substantivo ou um Na-Adjetivo.

Exemplo:

大変たいへんなの？

É difícil/duro?

ばれる : Descobrir, um segredo viar a toda, tomar um exposed, ser pego com
a mão na massa.
ばれた : Descobriu ( passado )

バレた : Descobriu ( passado )

Não faça essa cara séria!

そんな : Essa, desse jeito.
深刻しんこく : sério; severo.
顔かお : Cara; expressão.
深刻しんこくな顔かお : Cara séria.
( Por que do な ? ele entra pois o深刻しんこくé um な Adjetivo e ele
acaba por modificar o 顔かお , isto é, apresentar qualidades ao 顔 )
Ou seja: É uma cara que é séria ( tem esse detalhamento )

Não é como se fosse um death note, não é?

デスノート : Death Note ( Caderno da Morte. )

わけ : Ele tá dando um tom de justificativa, de reconhecimento de um fato
ou razão pra alguma causa ou efeito.

~わけじゃない : Não é que ( ex: seja um death note )
~てわけじゃないだろ : é claro que não é isso, né mesmo?

Por que que você tá com meu caderno ?

なんで : Por que?
お前まえ : Você
俺おれの : Meu
持もつ : Segurar, ter em posse.
持もって : Ter em posses ( na forme te )

んだ ou: (んです/のだ/のです) = Ele passa um sentido explicativo
para a sentença, demonstra que aquilo é uma explicação ou uma justificativa.
e o んだ também aparece em perguntas. e nessas situações quem indaga usando isso, espera
uma certa explicação.

が : Especifica elementos dentro da frase, indica o o objeto dela.
ou algo exclusivo dentro da idéia a ser transmitida.

Porque eu sento na última cadeira!

一番いちばん : A mais; O mais, o melhor.
後うしろ : Atrás.
一番いちばん後うしろ :Na mais última… ; Na mais de trás
席せき: Cadeira; Assento.
だから : Porque, pois.

の: Esse の passa uma idéia de um relação atributiva entre um substantivo e outro.
Isto é, um substantivo atribui um sentido especifico a outro.

No contexto 後ろの席 > cadeira que é de trás/que está atrás.